Wydawnictwo Naukowe PWN przedstawia wyjątkową pozycję prezentującą historię matematyki. To książka, która zainteresuje nie tylko pasjonatów tej dziedziny nauki, ale również – a może przede wszystkim – miłośników historii nauki i rozwoju wiedzy. Napisana ze swadą i elegancją eseju naukowego daje przyjemność poznawania kolejnych matematycznych odkryć oraz przyjemność czytania. Mamy fragment książki, zapraszamy do jego lektury!
Fragment książki “Historia matematyki”, David M. Burton, przeł, Małgorzata Dąbkowska-Kowalik i Witold Sikorski na zlecenie WITKOM Witold Sikorski. Wydawnictwo Naukowe PWN 2023.
Rozdział 12. Przejście do XX wieku: Cantor i Kronecker
Rozwiązanie trudności, które dawniej otaczały matematyczną nieskończoność,
jest prawdopodobnie największym osiągnięciem, jakim może pochwalić się nasz wiek.
BERTRAND RUSSELL
12.1. Pojawienie się amerykańskiej matematyki
Przewaga niemieckich uniwersytetów
W przeciwieństwie do Anglii, Francji i Rosji, gdzie akademie nauk z nawiązką rekompensowały słaby
rozwój myśli naukowej na uniwersytetach, Niemcy miały uniwersytety, które przejęły odpowiedzialność za badania naukowe i matematyczne. „Edukacja na niemieckich uniwersytetach” – powiedział jeden z francuskich pisarzy – „zaczyna się tam, gdzie kończy się edukacja większości narodów w Europie”. Do powstania tej charakterystycznej formy niemieckiego uniwersytetu przyczyniło się zwycięstwo Napoleona i całkowita klęska Prus pod Jeną w 1806 roku. Upokarzający traktat w Tylży (1807) pozbawił Prusy wszystkich terytoriów na zachód od Łaby – w sumie około połowy terytorium i ludności – nałożył na nie ciężkie odszkodowanie w wysokości 120 milionów franków i zmusił do wspierania armii okupacyjnej liczącej 150 tysięcy żołnierzy. Jednym z rezultatów traktatu było to, że Prusy straciły wszystkie swoje uniwersytety z wyjątkiem trzech wzdłuż wybrzeża Bałtyku. Utrata tych w Getyndze i Halle była najbardziej dotkliwym ciosem. Tron i naród pruski zwrócili się ku edukacji, jedynej dziedziny, w której Francuzi pozostawili im swobodę działania, jako środka do moralnej i fizycznej regeneracji ich kraju. Król Fryderyk Wilhelm III powiedział:
Rzeczywiście straciliśmy terytorium i prawdą jest, że państwo straciło swój zewnętrzny splendor i siłę,
i z tego właśnie powodu jest moim najszczerszym pragnieniem, aby największą uwagę zwrócić na edukację ludu (…). Państwo musi odzyskać w sile intelektualnej to, co straciło w sile fizycznej.
W czasie najgłębszej narodowej rozpaczy Prus założono w Berlinie (1810) nowy uniwersytet, który otrzymał coroczną dotację pieniężną, a na siedzibę przeznaczono pałac królewski. Uniwersytet w Berlinie nie miał być tylko dodatkiem do istniejących uniwersytetów, lecz raczej ucieleśnieniem nowej koncepcji szkolnictwa wyższego. Nowy uniwersytet miał przede wszystkim rozwijać wiedzę, a ponadto, być może jako ustępstwo, miał prowadzić szkolenia zawodowe. Zarówno studenci, jak i profesorowie kładli nacisk na oryginalne badania, a nie na dydaktykę i egzaminowanie; dlatego stanowiska oferowano tylko tym, którzy wykazywali się zdolnością do pogłębiania wiedzy. Sala wykładowa zajęła miejsce klasy z nauką na pamięć, a seminarium, w którym mała grupa zaawansowanych studentów badała jakiś problem pod kierunkiem profesora, stało się znaczącą cechą każdego wydziału. (Weierstrass, we wspólnym przedsięwzięciu z Kummerem w 1861 r., wprowadził pierwsze w Niemczech seminarium poświęcone w całości matematyce). Chociaż mianowanie wszystkich profesorów leżało w rękach ministra edukacji, uniwersytet otrzymał pełną swobodę zarządzania swoimi sprawami w zakresie studiów i administracji. Wraz z tym pojawiła się nowoczesna wolność akademicka, pozwalająca na dochodzenie do prawdy w sposób, który wydawał się najlepszy; trzeźwe poszukiwanie prawdy, bez względu na to, dokąd ona prowadzi, było hasłem przewodnim Uniwersytetu Berlińskiego. W miarę upływu XIX wieku na wzór modelu berlińskiego powstawały kolejne uniwersytety: Breslau (1811), Bonn (1818) i Monachium (1826). Niekwestionowana wyższość ich bibliotek, laboratoriów i uczonych wyjaśniała naukową renomę, jaką Niemcy cieszyły się za granicą. Niemieckie uniwersytety, z ich kombinacją wykładów, seminariów i laboratoriów, były uważane za jedyne instytucje na świecie, w których student mógł uzyskać szkolenie w zakresie prowadzenia badań naukowych. Jak można było się spodziewać, ta reputacja lidera akademickiego przyciągnęła zainteresowanych z całego świata. W szczególności, stały strumień amerykańskich studentów szukał specjalistycznego szkolenia w Niemczech.
Uniwersytety dziewiętnastowiecznych Niemiec miały prawdopodobnie największy wpływ na rozwój nowoczesnej instytucji. Kiedy podjęto wysiłki w celu wyeliminowania nepotyzmu, faworyzowania i starszeństwa przy mianowaniu, pojawił się nowy rodzaj profesury. Preferowano nauczycieli, którzy potrafi li również publikować, a ich publikacje były wystarczająco znaczące, by przyciągnąć uwagę uniwersytetu. W rezultacie niedoszły członek wydziału miał coraz większe trudności z podjęciem kariery akademickiej bez namacalnego dowodu osiągnięć naukowych. Potwierdzeniem na to był najczęściej doktorat filozoficzny, który coraz bardziej kojarzył się z prowadzeniem badań i pisaniem – a często publikacją – rozprawy. Osoba z doktoratem i rokująca rozwój naukowy mogła ubiegać się na uniwersytecie o licencję na prowadzenie akredytowanych wykładów jako privatdozent. Stopień ten, stanowiąc najszybciej rosnącą część kadry dydaktycznej, wiązał się z prestiżem tytułu, ale nie z wynagrodzeniem, a jego rzekomą funkcją było zwiększenie liczby studentów przy jednoczesnym ograniczeniu liczby pełnopłatnych profesorów. Dochody uzyskiwane na tym stanowisku pochodziły ze skromnych opłat za wykłady pobieranych bezpośrednio od studentów. Po zdaniu egzaminu habilitacyjnego privatdozent liczył na to, że bieżące osiągnięcia naukowe pozwolą mu wspinać się po szczeblach akademickiej drabiny w miarę pojawiających się ofert (wyjątkiem były badania ogólnokrajowe). Być może główną zaletą tego stanowiska było to, że przyzwyczajało ono neofitę profesora do „etyki badawczej”, która była dumą niemieckiego uniwersytetu: poszerzanie granic wiedzy poprzez oryginalne badania. Sądząc po okazywanej żywej ciekawości amerykańskich obserwatorów akademickich, koncepcja nauczyciela-badacza wkrótce wstrząsnęła starymi nawykami i letargiem szkolnictwa wyższego po drugiej stronie Atlantyku.
Amerykańska matematyka zapuszcza korzenie: 1800–1900
Do połowy XIX wieku w Stanach Zjednoczonych nie było prawie żadnych zaawansowanych prac matematycznych wartych wzmianki. Mając niewielką motywację do prowadzenia oryginalnych badań, wydziały college’ów zadowalały się przekazywaniem istniejącej już matematyki poznanej ze źródeł europejskich. Co więcej, była to zazwyczaj matematyka na stosunkowo niewymagającym poziomie: arytmetyka, elementarna algebra, geometria płaska i bryłowa, wraz z odrobiną trygonometrii i odcinków stożkowych. W okresie poprzedzającym wojnę secesyjną niewiele dużych uczelni podjęło próbę (zazwyczaj fatalną) zaoferowania rachunku różniczkowego i całkowego.
Większość amerykańskich college’ów w XVII i XVIII wieku wzorowała się na instytucjach w Anglii i podobnie jak one, miała na celu kształcenie piśmiennych i bogobojnych duchownych. We wczesnych dekadach XIX wieku, gdy zainteresowanie teologią zaczęło słabnąć, edukacja w college’u stała się bardziej „edukacją dżentelmena” – jej celem było wykształcenie uczciwych, dobrze ułożonych i wysoce kulturalnych młodych ludzi poprzez klasyczny program nauczania. (Liberalna dawka Cezara, Plutarcha i Euklidesa była uważana za niezrównaną dla dyscyplinowania umysłu i kształtowania charakteru). Ale było wiele oznak niezadowolenia z systemu edukacyjnego dostosowanego niemal wyłącznie do interesów jednej klasy społecznej, który w niewielkim stopniu służył ekonomicznej tkance rozwijającego się narodu przemysłowego.
Mówi się, że nowoczesne nauczanie matematyki w Ameryce rozpoczęło się od Johna Farrara
(1778–1853), a nowoczesne badania od Benjamina Peirce’a (1809–1880). Farrar ukończył Harvard College w 1803 r. i wrócił cztery lata później jako profesor matematyki i filozofii i naturalnej, czyli fizyki. Stanowisko to zajmował do 1836 r., kiedy to zły stan zdrowia zmusił go do przejścia na emeryturę. Matematyka od początku stanowiła istotną część klasycznego programu nauczania szkoły, choć jej program nie był zbyt wymagający. Znajomość arytmetyki nie była wymogiem przyjęcia do 1803 r., podobnie jak znajomość algebry do 1819 roku. Farrar unowocześnił ofertę Harvardu, tłumacząc i redagując fragmenty najpopularniejszych podręczników kontynentalnych, zwłaszcza autorów francuskich. W latach 1818–1824 oddał w ręce studentów wersje matematycznych dzieł Legendre’a, Lacroix, Bézouta i Eulera. Najbardziej znacząca adaptacja, First Principles of Diff erential and Integral Calculus (1824), była oparta w dużej mierze na Cours d’analyse Etienne’a Bézouta. Stanowiła ona dla amerykańskich studentów wprowadzenie do notacji rachunku Leibniza, w przeciwieństwie do przestarzałej symboliki fluksjonalnej Newtona. Dostępność tych nowych podręczników przyczyniła się do podniesienia poziomu nauczania matematyki nie tylko na Harvardzie, ale także w innych głównych instytucjach edukacyjnych w kraju.
Robert Adrain (1775–1843) jest uważany za pierwszego twórczego matematyka amerykańskiego.
Urodził się w Irlandii i nie otrzymał formalnego wykształcenia, ale już w wieku 15 lat był wystarczająco obeznany z matematyką, by utrzymywać się z nauczania i udzielania korepetycji z tego przedmiotu. Adrain, wraz z żoną i malutką córką, wyjechał do Stanów Zjednoczonych po tym, jak został ranny w powstaniu przeciwko władzy brytyjskiej w 1798 roku. Wkrótce po osiedleniu się w Princeton został zatrudniony jako dyrektor lub nauczyciel w kolejnych instytucjach edukacyjnych, między innymi w Queens College (obecnie Rutgers University), University of Pennsylvania i Columbia University, gdzie został mianowany profesorem matematyki i astronomii.
W pierwszych dekadach XIX wieku istniało niewiele miejsc, w których można było publikować oryginalne badania matematyczne, a te, które istniały, miały krótki żywot z powodu braku wystarczającej liczby odbiorców. Adrain stał się wczesnym i częstym współpracownikiem pierwszego w kraju czasopisma matematycznego, Mathematical Correspondent, które powstało w 1804 roku. Mimo że Correspondent był w dużej mierze zajęty przedkładanymi problemami i ich rozwiązaniami, Adrain przy jednej okazji dostarczył 50-stronicowy esej zatytułowany „View of Diophantine Algebra”. Kiedy w 1808 r. Correspondent przestał się ukazywać, Adrain założył własne czasopismo, The Analyst, or Mathematical Museum, które również przestało się ukazywać po zaledwie jednym tomie, składającym się z czterech numerów. Na szczególną uwagę zasługuje drugi numer, w którym Adrain, rozwiązując pewien problem geodezyjny i nie znając badań Legendre’a i Gaussa, podał probabilistyczne wyprowadzenie prawa najmniejszych kwadratów. Dziś powszechnie przyjmuje się, że wszyscy trzej mężczyźni byli niezależnymi odkrywcami tego prawa.
Najwcześniejszą drogą publikacji artykułów o charakterze naukowym były Transactions of the American Philosophical Society, założone w 1771 roku. O zainteresowaniu Adraina problemami pozamatematycznymi świadczą dwie prace w Transactions z 1818 roku: jedna dotyczyła średniej średnicy Ziemi, a druga siły grawitacji na różnych szerokościach geografi cznych. Podjął też kolejną próbę wydawania periodyku matematycznego – Mathematical Diary. Przedsięwzięcie to cieszyło się większym powodzeniem niż jego poprzednik, ukazując się w 13 numerach w latach 1825–1832. Chociaż hamowany przez brak kontaktu ze współczesnymi europejskimi matematykami i ograniczony przez nieodpowiednie wyposażenie biblioteki, Adrain prowadził własne badania w godnym zaufania stopniu.
Afroamerykanin Benjamin Banneker (1731–1806), choć nie jest matematykiem w zwykłym tego słowa znaczeniu, jest jednak niezwykłą postacią tego okresu. Urodził się jako wyzwolony niewolnik na małej farmie około 10 mil od Baltimore w stanie Maryland. Rodzice nauczyli go czytać, ale jego edukacja poza domem polegała jedynie na uczęszczaniu przez kilka zim do lokalnej szkoły kwakrów dla chłopców. Zdolności mechaniczne Bannekera zostały zauważone w jego wczesnych latach dwudziestych, kiedy miał okazję zobaczyć działanie zegarka kieszonkowego. Studiując jego mechanizmy, skonstruował drewniany zegar, ręcznie rzeźbiąc jego koła zębate. Jego zegar wybijał godziny przez następne 20 lat.
W 1788 roku zamożny sąsiad pożyczył Bannekerowi teleskop i trzy dzieła o astronomii – dwa z nich składające się w całości z tabel. Bez żadnej pomocy postanowił nauczyć się praktycznych aspektów astronomii i matematyki niezbędnej do przeprowadzania obliczeń. Banneker czynił tak szybkie postępy, że był w stanie przewidzieć czas zaćmienia Słońca 14 kwietnia 1789 r. z większą dokładnością niż kilku uznanych astronomów. Ta niezwykła zdolność do obliczeń skłoniła Bannekera do przygotowania opracowania, które nazwał Almanac and Ephemeris for the Year 1782. Zawarte w nim informacje obejmowały położenie planet i jasnych gwiazd, czasy zaćmień, fazy księżyca, godziny wschodu i zachodu Słońca, a także tabelę pływów dla Zatoki Chesapeake. Ponieważ almanach pełnił funkcję kalendarza domowego, odniósł sukces ponad miarę. Sprzedawał się w dużych ilościach w całych stanach środkowoatlantyckich. Banneker wysłał rękopis do sekretarza stanu Thomasa Jeffersona, który przekazał go Académie Royale des Sciences w Paryżu jako dowód talentów, jakimi natura obdarzyła „naszych czarnych braci”. Banneker kontynuował przygotowywanie konsekwentnie dokładnych almanachów na każdy rok przez kolejnych 10 lat.
Chociaż rozwijające się społeczeństwo wymagało ogólnego rozszerzenia nauczania naukowego, z silnym elementem matematycznym, to właśnie technologia, a nie nauka, zakorzeniła się w amerykańskim szkolnictwie wyższym. Powstały wyspecjalizowane instytucje, takie jak Rensellaer Polytechnic Institute – w zasadzie szkoła inżynierii lądowej – otwarty w 1825 r., a później w tym samym stuleciu Polytechnic Institute of Brooklyn (1855) i Massachusetts Institute of Technology (1865). Nawet z Harvardu i Yale wyrosły pod koniec lat 40. XIX wieku osobne instytuty techniczne – odpowiednio Lawrence Scientific School i Sheff eld Scientific School. Jednak edukacja, nawet w najstarszych i najbardziej zaawansowanych uczelniach, nadal koncentrowała się na studiach klasycznych, a program nauczania był ściśle określony i tylko niewielkie odstępstwa były dopuszczalne. Nauki stosowane były postrzegane jako gorszy przedmiot dla gorszych studentów, których stopnie naukowe miały niewielki prestiż. W Yale „naukowcy” byli odseparowani od reszty studentów w czasie nabożeństwa.
Matematyka to królowa nauk – to stwierdzenie, jakże prawdziwe i uniwersalne, może również powodować naszą ciekawość w aspekcie chęci odkrycia tego, co tak naprawdę sprawiło, że tak cenimy tę naukę.
Komu i jakim odkryciom ta dziedzina wiedzy zawdzięcza tak wielkie jej znaczenie dla nasz wszystkich – dla rozwoju człowieka, używanej dziś technologii, odkryć?
Jacy wielcy naukowcy, myśliciele, odkrywcy i genialni matematycy żyli na przestrzeni wieków i zapisali się złotymi zgłoskami na kartach naszej historii? Na pewno wielu z nas słyszało o jednej czy kilku postaciach – typu: Euklides, Newton, Gauss. Być może znamy jedno czy kilka genialnych odkryć czy twierdzeń udowodnionych przez te wielkie nazwiska – ale czy naprawdę znamy kontekst, wyjątkową drogę bardzo wielu, różnych postaci z historii, dzięki którym matematyka zajmuje dziś na świecie tak poczesne miejsce?
Poznanie niesamowitej historii najwspanialszej nauki, jaką jest matematyka to rzecz, której trudno sobie odmówić. A Ty Czytelniku, możesz zapiąć pasy i przygotować się na wielką, fascynującą przygodę – wystarczy, że sięgniesz po książkę profesora Davida M. Burtona zatytułowaną po prostu: HISTORIA MATEMATYKI.
W pierwszej połowie XIX wieku tylko kilku Amerykanów wniosło godny uwagi wkład do matematyki wyższej. Talent matematyczny tego kraju skupił się prawie wyłącznie na praktycznej nauce astronomii lub na różnych badaniach przybrzeżnych i geodezyjnych. Jednym rozpoznawalnym wyjątkiem był Nathaniel Bowditch (1773–1838). Jako matematyk, w dużej mierze samouk, przetłumaczył w latach 1814–1817 cztery tomy Mécanique Céleste Laplace’a. Książka ta, ostatecznie opublikowana w 1829 r. na jego koszt, była pierwszym wielkim dziełem naukowym wydanym w Stanach Zjednoczonych. Aby dzieło to stało się pełnym wprowadzeniem do matematyki kontynentalnej, Bowditch dodał do tekstu Laplace’a prawie taką samą ilość uwag wyjaśniających. Napisał też klasyczne dzieło o nawigacji, New American Practical Navigator (1802), które do dziś jest wznawiane. Wraz z 279 stronami instrukcji i 29 stronami tabel zawierało ono poprawki do ponad ośmiu tysięcy błędów w standardowym źródłowym tekście brytyjskim z tamtych czasów. Navigator wkrótce stał się „biblią marynarzy”, bez której żaden kapitan nie mógł żeglować. Bowditch kontynuował pracę jako redaktor niezwykle popularnego Navigatora, dodając uzupełniające materiały do jego ciągle nowych wydań, aż do swojej śmierci, kiedy to jego syn przejął projekt. Dzieła te zapewniły mu członkostwo w Royal Society of London. Harvard College przyznał Bowditchowi honorowy tytuł magistra i zaproponował mu profesurę matematyki (którą odrzucił) – co było sporym wyróżnieniem dla człowieka, którego formalna edukacja nie wykraczała poza szkołę podstawową.
Do połowy XIX wieku większość amerykańskich nawigatorów opierała się na zagranicznych tablicach do wyznaczania kursów, głównie na British Nautical Almanac (wyd. 1767). Akt Kongresu z 1849 r. upoważnił Marynarkę Wojenną Stanów Zjednoczonych do przygotowania rocznych amerykańskich efemeryd i almanachu żeglarskiego. Pierwszy tom, który ukazał się w 1853 r., zawierał wiele tabel niezbędnych dla roku 1855. Rutynowymi obliczeniami matematycznymi zajęła się niewielka grupa „komputerowców”, z których niektórzy później zostali uznani za czołowych astronomów teoretycznych w kraju.
Dwaj, którzy osiągnęli takie uznanie, to Simon Newcomb (1835–1909) i George William Hill (1838–1914). Simon Newcomb urodził się w Nowej Szkocji, gdzie był uczony w domu przez ojca, wiejskiego nauczyciela. Do Stanów Zjednoczonych przybył w wieku 18 lat i rozpoczął swoją karierę, również ucząc w wiejskich szkołach. W 1857 roku został mianowany „kalkulatorem” w Biurze Almanachu Nautycznego (Nautical Almanac Offi ce). W tym czasie siedziba biura znajdowała się w Cambridge w stanie Massachusetts, w pobliżu potężnego teleskopu Harvardu. Korzystając z okazji, Newcomb zapisał się do Harvard’s Lawrence Scientific School. Rok później ukończył ją z tytułem licencjata, studiując pod kierunkiem Benjamina Peirce’a. W 1861 roku Newcomb został mianowany profesorem matematyki w Marynarce Wojennej Stanów Zjednoczonych i przydzielony do Obserwatorium Marynarki Wojennej w Waszyngtonie. Następnie (1877) awansował na stanowisko superintendenta Biura Almanachu Nautycznego, mieszczącego się już wtedy w Waszyngtonie, i kierował jego działalnością przez następne 20 lat, aż do osiągnięcia wymaganego wieku emerytalnego 62 lat. W tym czasie pełnił również (1884–1894) funkcję profesora matematyki i astronomii w niepełnym wymiarze godzin na niedawno założonym Johns Hopkins University, a także został redaktorem jego czasopisma American Journal of Mathematics.
Newcomb cieszył się międzynarodowym uznaniem za szereg prac naukowych. Przykładem mogą być rozbieżności w obliczaniu pozycji Księżyca na niebie: ich pomiar i wyjaśnienie stało się dla astronomów notorycznie skomplikowanym zagadnieniem. Szacunki z 1846 r., według których rzeczywista pozycja Księżyca odbiegała od oczekiwanej o co najwyżej 21 sekund kątowych w ciągu 240 lat, okazały się niezadowalające. W 1871 roku, korzystając z dostępnych tabel i zapisów sięgających aż do 1675 r., Newcomb był w stanie ulepszyć empiryczną poprawkę do 17 sekund kątowych co 273 lata. W latach 1880–1882 współpracował z Albertem Michelsonem nad nowym ustaleniem prędkości światła jako bliskiej 186 000 mil na sekundę. Innym jego wyczynem było obliczenie (1891) odległości Ziemi od Słońca jako prawie 92 950 000 mil (najlepsze obecne oszacowanie to 92 955 860 mil). Te godne uwagi wysiłki doprowadziły do przyznania mu honorowych tytułów naukowych przez 17 uniwersytetów i wyboru do narodowych akademii lub towarzystw astronomicznych w równie wielu innych krajach.
Innym astronomem matematycznym o światowej renomie był George W. Hill. Ukończył Rutgers College w 1859 r. i wkrótce potem dołączył do pracowników Almanachu Nautycznego w Cambridge. Jako samotnik Hill starał się o pozwolenie na prowadzenie swoich obliczeń na rodzinnej farmie w Nowym Jorku i i go uzyskał. Został jednak wezwany do Waszyngtonu w 1882 r., kiedy Newcomb został kierownikiem Biura Almanachu i pozostał tam aż do przejścia na emeryturę 10 lat później. W początkowym (1878) tomie American Journal of Mathematics Hill opublikował artykuł zatytułowany „Researches on Lunar Theory”, w którym opracował zupełnie nowe podejście do problemu trzech wzajemnie przyciągających się ciał. Późniejsza wersja artykułu (1886) ukazała się w szwedzkim czasopiśmie Acta Mathematica. Znany francuski matematyk Henri Poincarére opisał badania Hilla w nagrodzonym opracowaniu z 1887 roku. Kiedy Poincaré odwiedził Stany Zjednoczone i został przedstawiony Hillowi, jego pierwsze słowa brzmiały: „Jest pan jedynym człowiekiem, dla którego przyjechałem do Ameryki, aby go zobaczyć”. W późniejszych latach Hill był trzecim prezesem raczkującego Amerykańskiego Towarzystwa Naukowego (American Mathematical Society), a w latach 1898–1901 wykładał mechanikę nieba na Columbia University.
Inną wybitną postacią tego czasu była Maria Mitchell (1818–1889), pierwsza amerykańska kobieta astronom. Kształcił ją ojciec, ceniony astronom amator na wyspie Nantucket. Od najmłodszych lat pomagała mu w ich skromnym domowym obserwatorium, wykonując obserwacje pozycji gwiazd, by pomóc w nawigacji lokalnej flocie wielorybniczej. Odkrycie przez Mitchell w 1847 r. nowej komety przyniosło jej międzynarodową sławę i złoty medal od króla Danii. Zatrudniona w 1849 r. na pół etatu w Biurze Almanachu Nautycznego spędziła następne 19 lat, pracując w domu nad pozycjami planet. Kiedy w 1865 r. otwarto Vassar College, Mitchell została mianowana profesorem astronomii i dyrektorem jego obserwatorium. Pozostała w Vassar aż do przejścia na emeryturę w 1888 roku.
Benjamin Peirce (1809–1880), jeden z 50 oryginalnych założycieli Narodowej Akademii Nauk (1863), był powszechnie uważany za czołowego matematyka swoich czasów. Jako student Harvardu pomagał Bowditchowi w rewizji i poprawianiu arkuszy dowodowych tłumaczenia Laplace’a, a robiąc to, zapoznał się z poziomem matematyki znacznie wykraczającym poza to, co robiono w Ameryce. Jakieś 30 lat później Peirce zadedykował jedno ze swoich najbardziej znaczących dzieł, A System of Analytic Mechanics, „mojemu mistrzowi w nauce, Nathanielowi Bowditchowi”.
Peirce ukończył Harvard w 1829 r. i powrócił jako nauczyciel dwa lata później. Po uzyskaniu tytułu magistra (M.A.) tej uczelni (1833) został mianowany – w wieku 24 lat – profesorem matematyki i fizyki, który zachował aż do śmierci. Ilość wykładów matematycznych udzielanych wówczas na Harvardzie była niewielka, a nauczanie rachunku i wszystkiego, co poza nim, spadło na Peirce’a. Kiedy Arthur Cayley mówił o nim jako o „ojcu amerykańskiej matematyki”, było to w podziękowaniu za zaawansowane kursy oferowane przez Peirce’a, które nigdy nie były dostępne na żadnym innym amerykańskim uniwersytecie. Był jednym z najwcześniejszych i najbardziej wpływowych zwolenników nowego systemu kwaternionów Hamiltona i starał się zainteresować swoich studentów przedmiotem, który według niego miał mieć owocną przyszłość. (Marny był z niego prorok, nie dożył upadku kwaternionów po wprowadzeniu analizy wektorowej). Często mówi się, że badania matematyczne w Ameryce zaczęły się od Peirce’a. Przed nim nikomu nie przyszło do głowy, że badania naukowe są jednym z działań, dla których istnieje wydział matematyki. Jego najwybitniejszą pracą było Linear Associative Algebra, odczytane Akademii Narodowej w latach 1866–1870. W 1870 roku wydrukowano je tylko w formie litografi i dla prywatnego obiegu, a w końcu opublikowano w American Journal of Mathematics (1881).
Pamiętne zdanie otwierające brzmi:
Matematyka jest nauką, która wyciąga konieczne wnioski./…/
